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　　朱杰-数学概率

　　上海重点高校数学系教师、数学专业博士，考研数学张宇团队核心成员，主讲考研数学(概率论与数理统计)、管理类联考数学十多年。教学强调“三基”(基本概念、基本理论、基本方法)与应试技巧的融会贯通，对考研题源“历年真题”有着深入的研究，上课幽默、风趣，内容充实，信息量大;关心、关爱学生，深受到学生欢迎。

　　今天管综已经考完了，首先祝贺大家，通过一年的学习今天已经成功考完了。先谈一谈管综的情况，从我和几位老师的交流来看认为今年的管综综合卷还是有一定难度的，逻辑比较难，中文写作、论证有效性分析可能比较难，数学难度倒还可以，与2020年差不多，试题比较新颖，每年命题专家都会编制一些新颖的题，我们强调数学必考的思维还是反复考查的，分类讨论、数形结合、穷举归纳、方程化归，数学中蕴含的一些逻辑思维等等至少这些问题。条件充分性判断，个别的题它的证明是有一定难度的，判断还是很容易，选对答案不难，但是要严格给予证明是有一定难度的。

　　我先把答案给大家过一下。第1题是一个结合计数，至少的问题，当然这个题第一个上来做，同学们如果试卷划卷你遇到第一题是这个题，可能心里还是有点不舒服的，这个至少题从反面分析也不难，就是重叠，重叠的多了就是减少了。

　　第2题是等差数列三项乘等差，方程化归明显是一个10倍，可以解出三人年龄，最大的就是21岁，方程化归是很基本的考点。

　　第3题是一个实数的列项运算，实数有理数的列项的运算，分母无理数列项的运算，是一个常规的题目，列项运算在真题中也是一个高频的考点。

　　第4题是一个质数的问题，小质数的问题就直接穷举，这也是我们一直强调的，两个元素变动的穷举问题，P和Q两个元素变动，我们说固定一个，穷尽另外一个。

　　第5题是一个二次函数相关的问题，主要是ABC之间的关系，由f(2)与f(0)，得到AB之间的关系，或者看对称轴也行，然后分式，其实这个分式有点像一个齐次分式，这也是一个基本的题目。

　　第6题和物理常识有关的概率问题，这是一个并联系统，至少有一个工作它就能够工作，至少加独立，我们从反面做，老真题当中也考过相同类型的问题。

　　第7题是立体几何中，外接球和长方体的体对角线一个综合的问题，一个小计算，这也是一个高频很常见的问题。

　　第8题是一个技术问题，这是需要分类讨论，从这四个人当中选出一名女同学，这个女同学来自哪个组?是来自甲组还是乙组，这就是一个基本两分法的讨论，分类到里面还有按个数分，这就是我们一直强调的分类讨论计数问题。

　　第9题是一个不规则图形面积的计算，这个图大家一看，这也是不规则图形面积当中的经典图形，里面还有一些对称性的应用，这也是一个常规的。纵观近几年真题当中不规则图形面积的计算其实并不难，没有很高的要求，还是比较常见的图形。

　　第10题是今年让考生们不是很舒服的题，因为涉及到求最值，纵观近几年的真题，最值的考查还是比较多，最值问的是一种特殊的情况，首先AC是这个的交点，这是对顶角，这个要注意，因为它又没有图，这个四边形，不一定是正方形，A面积的最大值，把B这个点放的特殊一点，放在50，放在X轴上，就是那个最值。其实这种问题不一定是要用很高级的方法去做，就是找到可能的那些最值点，代进去就解出来了，这个最值用什么方法，可能一时半会想不到，但是那个特殊点一看就能看出来，坐标值上50这个点，B点比如是50，D点是-50，那这个题就做完了。

　　第11题是一个比较新颖的概率题，它的问法也不是很常规的，一等奖先于二等奖抽完的概率是多少，但是保命的方法我也讲过，我们也讲过一些蒙猜的技巧课，概率的题，去找两个加起来唯一的，是0.3、0.7，接着往后选那么就可以做对了，这是一些非常规的题，用蒙猜的技巧也很容易拿分。

　　第12题是一个常规的浓度问题，解题可以列方程，用十字交叉也行，这是方程化归的思想。

　　第13题是一个二次函数，这个二次函数可以分类讨论，比如说你要去掉这个绝对值，我可以讨论X大于等于2，X小于2，分类讨论，分段的二次函数，你也可以把X-4X，加上一个4，配一个平方，变形为一元二次函数，你要注意顶点是不是取得到，这个也是取得到的，那就没有什么太大的难度了。

　　第14题是一个摸球问题，三个球当中至多有两个颜色，那从反面开始做，这也不是很难的，还是两个概率加起来，唯一0.3、0.7，但是有两种0.4、0.6，都往后选，应该是0.6和0.7里面选一个，在这考试当中或许也能猜对。

　　第15题是很基本的行程问题，列方程，这是一个相遇问题，相遇以后走对方的路，这是常规考题。

　　所以通过前面15个题我们可以发现，前面15个问题求解的题，还是有创新题，但是也有中规中矩的题，列方程就可以解答的问题，所以前15题大家感受应该还可以，个别几个题可能有些难度，做起来比较吃力。

　　接下来看一下条件充分性判断，今年这个条件充分性判断的题，总的来说没有什么争议，不像往年争议比较大，基本上现在答案还是比较统一的。第16题是一个平均分的问题，两部分同学，男同学平均身高大于女同学，增加两个和男同学身高一样的，这个平均身高就增高了，这是定性判断就行。

　　第17题是一个工程问题中的合作问题，两两合作，三个人合作，这个用一个特值法很容易找到反例，总的工程量是12，甲乙合作每天是4，乙丙合作每天是3，找一个特值就行，马上很快的推翻它，用好特值就能判断出来问题答案。

　　第18题是有一定难度的题目，如果你要证明是有一定难度的，蒙猜一定还是比较方便的，投票人数超过了总人数的40%，参加投票的女员工比男员工多，这两个信息明显是需要联合的，联合以后还需要推导，有一定难度，C的概率应该比E来得大，如果前面那个题选了E，那这个选C应该就比较放心。虽然今年的考生们都不太敢选C了，但是不要被去年的真题吓住。

　　第19题能确定A绝对值加B绝对值的题，这个用好特值就可以解答，比如你设A+B的绝对值等于1，A-B的绝对值等于0，把AB解出来代进去看看是不是对的。再来一组也行，所以用好特值很容易做判断，但是你要严格给数学证明那就略微难一点，可以用平方取绝对值，分类讨论取绝对值，证明就有一点难度。

　　第20题是解析几何，直线与圆相切的问题，是一个常规问题。有两种做法，一种用代数的方法来做，条件一是唯一解，条件二是有两解。第二种方法可以画图分析，因为这个圆其实它是有一些特点的，比如说圆心在Y+X上，这个圆要过圆点。

　　第21题是我们考前强调的，充分性，从范围的角度，A能推出B，A应该是B的一个子题，看图像的角度来看是否充分，这是命题专家现在新的出题方式，近几年真题中，2015年、2019年，2021年真题中都是这样出的。

　　第22题是一个整数解的不定方程，命题人也有一些突破，原来整数解不定方程都是两个变量的，X和Y的一个信息组合，这里XYZ三个信息变量组合，重举肯定是可行的方法，看一下尾数，再看一下5，从这些特征看一下，条件1是能够确定的，是唯解，条件2就有两解，这个就定不了，这是近几年的高频考点。

　　第23题是一个行程问题，这个题的意义也是比较容易分析，这段路程我不知道，因一段路维修，维修这段路我也不知道，变量很多，那这个是定不了结果的，方程是解不出的，你试着列出来就会发现，变量很多，是不能确定的，算不出答案的。

　　第24题这是一个数列的题，这个数列的题需要联合了，等号不等号需要联合，有一种情况是要舍掉的，因为你有条件1，AM与AM+1应该是同号的，第二种情况当中有一种需要舍掉的，这也是简单的十字相乘。

　　第25题和相似有关，直角三角形和等差数列等比数列结合，等差数列看一下就想得到1、2、3、4、5、6、8、10，但是有的同学可能认为条件1是对的，条件2就觉得不对了，你也可以三条边设一设也可以得到这样是存在的，这样一种直角三角形是存在的，是有的，所以就容易误选B，正确答案应该是D。

　　真题的答案我分析到这里，同学们只要关心一下答案，预估一下分数，我认为就可以了，接下来我来谈几点，对2021年的考生，首先大家先好好休息，考研奋斗了是一个经历，要总结得失，得到了什么，不够的地方在哪里，不要轻易放弃复试，特别是分数可上可下，因为我们今年研究生扩招是大势所趋，因为主观题的阅卷情况松紧也不清楚，各个地方掌握的尺度也不明确，所以不要轻易放弃复试，我觉得复试还是应该准备的，其次我认为非全与全日制没有差别，同学们要注意有些学校全日制不招生了，但是非全日制可以接受调剂，我觉得同学们是可以考虑的，特别是一些名校的非全是值得拥有的。

　　对2022年考生，管理联考是一个很成熟的考试，它源于美国的GMAT考试，无论从考试内容、考试题型，还是思维的考查都是借鉴GMAT考试，这个对学生综合要求是比较高的，有纯数学，理科思维，纯中文写作，文科思维，还有文理之间的逻辑，所以应对考试，需要同学们认真对待，不要觉得初等数学蛮简单，比起高等数学不值一提，但是有把握拿高分吗，那个逻辑从来没有接触过，从来没有学习过，他们觉得逻辑的感受比较差，希望同学们能够尽早的跟着逻辑老师听课、学习，尽早地学，而且在逻辑上要花更多一点的工夫。

　　对2022考生来说，给大家的建议是管理联考还是要重视真题，我们这个考试有一半是在职人群，一半是应届大学生，所以考试不能太难，对于应届大学生来说有利有弊，不可能太难，比较容易上手，但是区分度又比较差，所以对于应届大学生你要追求高分，怎么高分呢，重视真题。我们现在发现命题专家的命题风格还是有很强的延续性，数学、逻辑、中文写作都是如此，所以把真题研究好，这是最重要的。就拿数学来说，你如果不注重数学思维的训练，不注重研究命题，专家考你数学考点，背后考什么思维，你做再多的题可能都是背道而驰的。所以管理联考现在更加突出思维能力的测试，所以希望2022的考生早点开始听课，早点开始接受正统的训练。最后是计算要过关，要有一定的熟练度，同学们还是反映三小时、三科压力很大，来不及做。

　　认准管理联考，认准新东方考研，你无论是应届，还是在职考生，今后你一定会成为研究生的。今天我就讲到这里，谢谢大家。

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