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2024考研心理学知识复习:推断统计的数学基础
一、概率
(一)概率的定义
概率因寻求的方法不同有两种定义,即后验概率和先验概率。
1、后验概率的定义
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率制作为随机事件A概率的估计值,这样寻得的概率称为后验概率。计算公式是 P(A)=lim m/n
2.先验概率的定义
先验概率是通过古典概率模型加以定义的,故又称为古典概率。古典概率模型要求满足两个条件:(1)试验的所有可能结果是有限的;(2)每一种可能结果出现的可能性(概率)相等。若所有可能结果的总数为n,随机事件A包括m个可能结果。
(二)概率的性质
1、任何随机事件A的概率都是介于0与1之间的正数;
2、不可能事件的概率等于0;
3、必然事件的概率等于1。
(三)概率的加法和乘法
1、概率的加法
在一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容的事件。
两个互不相容事件和的概率,等于这两个事件概率之和。 P(a+b)=P(a)+P(b)
2.概率的乘法
A事件出现的概率不影响B事件出现的概率,这两个事件为独立事件。
两个独立事件的概率,等于这两个事件概率的乘积。
P(A1,A2…An)=P(A1),P(A2)…P(An)
二、正态分布
正态分布是一种连续型随机变量的概率分布。
(一)正态曲线
1.正态曲线函数
正态曲线的函数式是公式
标准正态分布的函数式是公式
2.正态曲线的特点
(1)曲线在Z=0处为高点。
(2)曲线以Z=0处为中心,双侧对称。
(3)曲线从高点向左右缓慢下降,并无限延伸,但永远不与基线相交。
(4)标准正态分布上的平均数为0,标准差为1。
(5)曲线从高点向左右延伸时,在正负1个标准差是拐点。
(二)正态曲线的面积与纵线
1、累积正态分布函数
2、标准正态分布下面积的求法
3、正态曲线的纵线
(三)正态分布在测验计分方面的应用
1、将原始分数转换成标准分数
标准分数的意义:第一,各科标准分数的单位是绝对等价的;第二、标准分数的正负和大小可以反映出考生在全体考分中所处的地位。
2、确定录用分数线
3、确定等级评定的人数
三、二项分布
(一)二项试验
满足以下条件的试验称为二项试验:(1)一次试验只有两种可能结果,即和失败;(2)各次试验相互独立,互不影响;(3)各次试验中的概率相等。
(二)二项分布函数
二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。
用n次方的二项展开式来表达在n次二项试验中事件出现不同次数(X=0,1,…,n)的概念分布叫做二项分布。
二项展开式的通式(5.8)就是二项分布函数,运用这一函数式可以直接求出事件恰好出现X次的概率。
(三)二项分布图
从二项分布图可以看出,当p=q,不管n多大,二项分布呈对称形。当n很大时,二项分布接近于正态分布。当n趋近于无限大时,正态分布是二项分布的极限。
(四)二项分布的平均数和标准差
当二项分布接近于正态分布时,在n次二项实验中事件出现次数的平均数和标准差分别可以由公式(前提np≥5且nq≥5 )
平均数——M=np 标准差——r=npq1/2
(五)二项分布的应用
二项分布函eg:1.某市参加一考试2800人,录取150人,平均分数75分,标准差为8。问录取分数定为多少分?
解: X~N(75.82)
Z=(x-#)/σx=(x-15)/8 ~N(0,12)
P=150/2800=0.053
0.5-0.053=0.447
Z=1.615
X=1.615*8+75≈88(分)
2.某高考,平均500分,标准差100分,一考生650分,设当年录取10%,问该生是否到录取分?
解: Zo=(650-500)/100=1.5 (X~N(500,1002)(Z~N(0,12)
Po=0.5-0.43319=0.06681=6.681%<10%
所以可录取。
四、抽样原理与抽样方法
(一)随机化原理
(二)抽样方法
简单随机抽样
等距抽样
分层抽样
两阶段随机抽样
五、抽样分布
(一)正态分布
1、样本平均数分布
(1)总体分布为正态,方差已知,样本平均数的分布为正态分布
公式:
(2)总体非正态,方差已知,样本容量足够大(n>30)为渐近正态分布
公式同上
2、方差及标准差分布
公式:
(二)t分布
公式:
1、特点:⑴平均值为0
⑵以平均值0左右对称的分布
⑶变量取值从负无穷到正无穷
⑷当样本容量趋于无穷时,t分布为正态分布,方差为1。
2、t分布表的应用
3、样本平均数分布
(1)总体正态,方差未知,
公式:
(2)总体非正态,方差未知,满足n>30,近似t分布
(三)χ2 分布
1、抽样原理
2、公式:
3、特点:⑴χ2 分布是正偏态分布
⑵ χ2 值都是正的
⑶ χ2 分布的和也是χ2 分布
⑷如果df>2,这时μχ2 = df,σ2χ2 =2df
⑸ χ2 分布是连续型分布
4、 χ2 分布表
(四)F分布
1、F分布的原理
2、公式:
3、特点:⑴正偏态分布
⑵正值
⑶当分子的自由度为1,分母的自由度为任意值时,F分布与分母自由度相同概率的t值的平方相等。
4、F分布表
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