在考研各科目中，很多考生普遍认为数学科目难度大，面临各种各样的问题，包括不知道该如何着手准备，具体怎么规划和练习，有哪些学习方法，怎样提高计算能力等。下面新东方考研小编为大家整理了“2024考研数学知识点：中值定理的应用及辅助函数的构造方法”一文，希望能帮助大家更好的备考。

　　2024考研数学知识点：中值定理的应用及辅助函数的构造方法

　　1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点&xi使得f(&xi)=C(a<&xi

　　Ps:c是介于A、B之间的，结论中的&xi取开区间。

　　介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有最大值M，最小值m,若m&leC&leM,则必存在&xi&isin[a,b],使得f(&xi)=C。

　　2、零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，即f(a)。f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点&xi使得f(&xi)=0.

　　Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.

　　3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：

　　(1)、在闭区间[a,b]上连续

　　(2)、在开区间(a,b)内可导

　　(3)、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b)。

　　那么在(a,b)内至少有一点&xi(a<&xi

　　PS：在用罗尔定理时，关键是找出辅助函数，且结论成立前提为开区间内取值

　　4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：

　　(1)、在闭区间[a,b]上连续

　　(2)、在开区间(a,b)内可导

　　那么在(a,b)内至少有一点&xi(a<&xi

　　5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足

　　(1)、在闭区间[a,b]上连续

　　(2)、在开区间(a,b)内可导

　　(3)、对任一x(a

　　那么在(a,b)内至少存在一点&xi，使[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f`(&xi)/g`(&xi)

　　Ps：拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

　　题设或证明结论中含有一般的a,b,f(a)，f(b)时，经常可考虑直接用拉格朗日中值定理或利用柯西中值定理证明。

　　对于“存在两个点”的问题，一般先用一次拉格朗日中值定理(或柯西中值定理)，然后再用一次柯西中值定理(或拉格朗日中值定理)。

　　6、积分中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点&xi(a&le&xi&leb)使

　　Ps：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。千万不可直接运用。

　　过上面对各个定理的简单介绍，可以看出“恰当构造辅助函数”成为灵活运用中值定理的关键。下面将介绍几种常见的辅助函数构造方法：

　　1、原函数法：先将&xi化为x，然后将式子恒等变形以便于积分，按照常微分方程求解后，所得式子F(x,f(x))=C,则F(x,f(x))即为所需的辅助函数。

　　2、常数比值法：它适用于常数已分离的命题。

　　3、观察要证明的结论形式，有时往往可以直接写出辅助函数：

　　以上是小编为大家整理的“2024考研数学知识点：中值定理的应用及辅助函数的构造方法”，希望能帮助大家更好的准备考研数学，通过不断的练习与总结，掌握重点，攻克难点。