891 数学专业综合课考试大纲

　　请考生注意：

　　1、数学专业综合课试题含常微分方程、近世代数、概率论与数理统计三门课程的内容， 考生可任选其中二门课程的试题解答，多选无效。

　　2、每门课试题满分 75 分。

　　常微分方程考试大纲

　　一、基本内容与要求

　　(一) 初等积分法

　　1、 熟练掌握变量可分离方程、可化为变量分离方程的类型、一阶线性方程与常数变易法、全微分方程与积分因子等的解法。掌握一阶隐方程与参数表示。

　　2、 会应用降阶法解某些高阶方程。

　　3、 会建立简单的微分方程模型。

　　(二) 线性方程和线性方程组

　　1、 掌握线性微分方程(组)的一般理论.

　　2、 掌握常系数线性微分方程(组)的解法.

　　3、 能应用线性方程(组)解的结构对方程的解做简单定性分析.

　　4、 了解二阶线性方程的幂级数解法和 Laplace 方法。

　　5、 会应用二阶常系数线性方程分析振动现象。

　　6、会求二阶微分方程组的奇点及其类型

　　(三) 基本定理

　　1、掌握初值问题的存在、唯一性定理和解的延拓及解关于初值的连续、可微性定理

　　2、掌握解的存在、唯一性定理及证明。

　　近世代数考试大纲

　　一、基本内容与要求

　　(一)基本概念

　　1、理解集合与映射的概念，掌握集合之间的运算，能够在集合之间建立映射关系，并判断两个映射是否相同。

　　2、掌握代数运算与映射的关系，能够建立有限集合之间的运算表，并判断给定的运算是否满足结合律、交换律以及两种分配律。

　　3、掌握同态映射、同构映射和自同构的概念，理解同态与同态满射(满同态)的关系， 并能判定映射是否是同态满射(满同态)，掌握具有同态满射(满同态)的集合之间的联系。能够判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射。

　　4、理解关系和等价关系的概念，掌握等价关系和分类之间的转换定理，熟练判定给定的关系是否是等价关系。并熟悉剩余类的基本特性，能够建立整数间给定模的剩余类。

　　(二) 群论

　　1、掌握群的等价定义和例子，理解左、右单位元，左、右逆元的意义，掌握有限群、无限群、群的阶和交换群的概念。充分掌握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义， 能熟练掌握群与阶的关系，会计算群元素的阶。

　　2、理解群同构、同态的定义，掌握一个群的自同构的集合也成群的证明，掌握群同态的有关性质，并能证明在同态满射下，单位元的像也是单位元，元 a 的逆元的像是 a 的像的逆元。

　　3、掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点，熟练掌握剩余类加群，并能证明任一循环群可以与整数加群或模为 n 的剩余类加群同构。以及与循环群同态的群的性质。

　　4、熟练掌握变换的符号的运用和变换的乘法，能证明可以成群的变换只包含一一变换，且单位元一定是恒等变换。了解变换群的定义和性质。掌握任何一个群都同一个变换群同构的定理的证明。掌握元素求逆等运算。

　　5、理解置换与置换群的定义与性质，掌握每一个 n 元置换都可以写成若干个互相没有共同数字(不相连)的循环置换(轮换)的乘积的证明与运用。理解有限群与置换群的同构关系。

　　6、掌握子群的定义，掌握群的子集成群的充分而且必要的条件与判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群与子群中的单位元与逆元的关系，以及子群与子群之间的关系。

　　7、掌握陪集的定义，以及与等价关系和分类之间的关系，了解子群与陪集之间的关系， 并能证明有限群的阶能被元的阶整除的定理，以及阶为素数的群一定为循环群的证明。

　　8、 掌握不变子群(正规子群)的定义，能掌握一个群的子群是不变子群(正规子群)的充分必要条件的定理，理解商群的定义，能证明一个群同它的每一个商群同态的定理，了解核的定义，掌握两个具有同态关系的群之间子群或不变子群(正规子群)的象的性质。并能将子

　　群或不变子群(正规子群)的性质运用到循环群、变换群等群之中。 9、掌握 sylow 定理的应用。

　　(三) 环与域

　　1、理解交换环的定义和例子，熟悉单位元、逆元和零因子的性质并能熟练运用。掌握消去律与零因子的关系。

　　2、了解除环的定义，能举出域的例子，除环与加群、乘群的关系。熟悉无零因子环中的计算规则，掌握无零因子环中特征的性质

　　3、理解子环、子除环的定义，并能写出子整环、子域的概念，了解同态、同构环之间的性质，了解多项式成环，熟悉多项式环中的未定元、次数以及系数、无关未定元的作用。

　　4、掌握理想的定义，理解理想的构成，以及零理想、单位理想和主理想的构成，能判断一个子环是否为理想，和理想是否为主理想。了解什么是最大理想，且和剩余类环的关联。

　　5、 掌握没有零因子的交换环一定是一个域的子环，了解商域的构成，并掌握同构的环的商域也同构的定理。理解主理想环的概念和引理，能证明主理想环是唯一分解环。

　　6、理解欧氏环的定义，理解欧氏环、整数环都是主理想环与唯一分解环的证明，并能证明域一定是一个欧氏环。

　　概率论与数理统计考试大纲

　　一、基本内容与要求 (一) 概率论

　　1、理解随机事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算;理解并熟练掌握概率的古典定义;理解几何概率，概率的统计定义及公理化定义;熟练掌握概率的基本性质，会用于计算;理解并掌握条件概率的定义，事件独立性。熟练掌握乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式及其应用;熟练掌握 Bernoulli 概型。

　　2、理解随机变量的概念;理解并熟练掌握分布函数、分布律、概率密度等概念及其性质， 掌握分布函数与分布律，分布函数与概率密度之间的关系;掌握二项分布、Poisson 分布、均匀分布、指数分布，熟练掌握正态分布，会查标准正态分布表;熟练掌握随机变量函数分布的求法。

　　3、熟练掌握随机变量的数学期望、方差及其求法。掌握特征函数的定义及性质，特征函数与期望和方差之间的关系，理解反演公式和唯一性定理。

　　4、理解二维随机变量及其分布的定义，会求边缘分布，掌握随机变量的独立性;掌握二维随机变量期望、方差、协方差、相关系数及其性质;理解条件分布和条件数学期望;会求二维随机变量函数的分布;理解二维随机变量特征函数及其性质;了解三维及三维以上随机变量的定义和分布; 掌握n 维正态分布定义及性质，χ2-分布、t-分布和 F-分布。

　　5、理解大数定律和中心极限定理的统计背景，意义及其应用，了解依概率 1 收敛，依概率收敛及依分布收敛的意义和相互关系。

　　(二) 数理统计

　　1、掌握数理统计的基本概念;熟练掌握矩估计法和极大似然估计法;熟练掌握无偏估计、有效估计和相合估计;熟练掌握区间估计定义及其意义。

　　2、充分理解和掌握 Neyman-Pearson 假设检验的基本思想和方法;熟练掌握正态总体参数假设检验方法。