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2019考研数学:通过等差和等比数列解决级数问题

2018-08-27 10:11

来源:新东方网整理

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  1、等差数列

  Sn=n(a1+an)/2或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2注:an=a1+(n-1)d

  转换过程:Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2

  2、等比数列

  Sn=n*a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)(n为比值,a为项数)

  你知道这两个就证明幂级数,你学的是一点问题都没有了。那现在问题是你不知道为什么要逐项求导和逐项积分了?

  听好了,以前初等数学就是用一些初等变换去对式子变形——比如把原式变成两个等比或者等差数列,然后用等比等差数列求和公式求出原式的N项和。

  现在高等数学就不好搞了,就不能用一些初等变换(比如分母有理化,比如分子加一减一等等)的方式去分成几项有规律的数列了,那么,我们现在怎么办?要回到高中我们就只有求神了。

  但是,当我们现在学了高等数学后,我们就可以通过求导或者积分的方式把他变成我们所了解的等比和等差数列了,那多爽,是吧!通过求导就回到高中!

  不要去想什么逐项求导和逐项积分乱七八糟的,其实就是对通项求导或者积分。

  先说求导:目的就是把我们不论用初等数学怎么变化都不能变成等比数列的式子变成等比数列!

  注意观察:例如:S(X)=∑(2~无穷){[(-1)^n][x^(n-1)]/n-1}这个式子你用高中的方法去分成几项等比数列嘛,你一定会很悲剧的。通过观察:求一次导x^(n-1)的导数不就是(n-1)[x^(n-2)],分子的n-1不是可以和分母的n-1约掉啊!(注意了哈:逐项求导说的十分猥琐,其实就是对∑(2~无穷){[(-1)^n][x^(n-1)]/n-1}求导)

  求导你要这样想n是常数,X是变量,对X求导(其实N就是常数,我怕你搞错了,我现在没有办法知道你的基础,所以当高中生在教)。

  求导以后的数列变成∑(2~无穷){[(-1)^n][x^(n-2)],求了导之后你展开:把N=2带进去等于1把N等于3带进去等于(-X)把N等于4带进去等于(X^2)把5带进去等于(-x^3).......发现没有,求导之后的通项居然是个q=(-x)a1=1的等比数列!那我们的目的达到了!

  这个等比数列的求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)得:1/(1+x)|x|<1才收敛哈!不然考试不写|x|<1要扣粉的哈!求导之后的通项的和我们求到了1/(1+x)|x|<1那是不是我们要积分一次才是原来的题目啊!求导和积分是逆运算的嘛!S(X)=S(0)+1/(1+T)求积分(从0到X)=ln(1+x)|x|<1

  其实求导的目的就是把式子变成我们可以处理的等比数列,再求和,最后把和积分回来就对了,说的这样深邃!

  再说为什么要积分:目的还是把式子变成我们可以处理的等比数列。现在就按照同济教材的立体为例子给你玩一下:∑(1~无穷)n(x^n-1)

  解:S(x)=∑(1~无穷)n(x^n-1)的和函数仔细观察:(x^n-1)积分是不是分母出现了n,正好和分子的n越掉。直接对)∑(1~无穷)n(x^n-1)积分哈~~~不要考虑什么逐项积分,从此你就当没有听过逐项积分这种说法。

  积分后就变成∑(x^n),原式是没有办法处理的,但是有了这个式子之后,展开把N=(1、2、3、4。。。。)带入就发现是个很标准的q=x的等比数列了。这个等比数列求和为:x/(1-x)。x/(1-x)是积分后的和哈,那要求原来的和简单嘛,求一次导就对了:1/[1-x)^2]

  总结:原式我不能处理怎么办,求导或者积分后变成等比数列,我求和,求完了积分或者求导回去就对了!

  注意:不光是处理成等比数列,那是在高中。现在给你增加几个数列。说白了,你只要通过求导或者积分后变成这些数列都是可以求和的,记得再变回去!e^x

  =1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...ln(1+x)=x-x^2/3+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+...(|x|<1)sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+...(-∞

  求导或者积分后你要展开观察是什么数列,只要是等号右边的东西,你就直接得到他的和是等号左边了,再记得变回去。

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