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2019考研数学:线性代数梳理

2018-08-06 09:36

来源:新东方网整理

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  线性代数这一块儿,学得好的同学觉得非常简单,无非就是套公式。但是学得不好的同学碰到线代题就发愁。但它作为考研数学必考科目,不会做的话损失真的很大。那么该怎么复习这一科并且能有所提高呢?新东方整理了线代五个部分的重点要点,希望能对大家有所帮助。

  1、行列式

  该部分的基本考点可以分为两大部分:

  首先第一部分考点就是行列式的计算,要求大家掌握行列式概念、性质和展开定理,以及计算行列式的公式,包括三部分:

  一是特殊的行列式,如上(下)三角行列式,低阶行列式,范得蒙行列式;

  二是方阵的行列式,主要告诉我们在矩阵的各类运算下行列式的变化情况,包括矩阵的转置、数乘、乘法以及分块矩阵下行列式的计算公式,还包括逆矩阵和伴随矩阵的行列式;

  三是结合特征值,矩阵所有特征值的乘积就等于矩阵的行列式,所以计算矩阵行列式的另一思路是求出矩阵所有的特征值。

  第二部分考点是行列式的应用,也即线性代数后续章节中需要我们计算行列式的考点。主要有三方面:

  一是矩阵可逆的充要条件;

  二是线性方程组的克莱姆法则,如果线性方程组的系数矩阵是方阵,则可以考虑使用克莱姆法则,对非齐次线性方程组来说,方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵行列式不为零。

  换言之,方程组无解或是有无穷多解时都有系数矩阵的行列式为零,对齐次线性方程组来说,方程组仅有零解的充要条件是系数矩阵的行列式不为零;

  三是特征值的计算。

  2、矩

  该部分是线性代数的核心知识,它是后面其他各章节的基础,在向量组、线性方程组、特征值、二次型中均有体现。

  首先要求大家熟悉常见矩阵,熟练掌握矩阵的运算以及法则(特别是不成立的运算法则:交换律和消去律),这是考试的最基本的要求。其次是对特殊矩阵的考察,包括可逆矩阵、伴随矩阵、初等矩阵、正交矩阵。

  对于可逆矩阵是我们需要掌握其定义和性质、可逆性的讨论以及计算逆矩阵的方法;对于伴随矩阵需要掌握定义、性质、以及秩的公式;对于初等矩阵我们需要掌握三类初等矩阵以及它们对应的逆矩阵和左行右列的定理即可;对于正交矩阵我们需要掌握其定义、性质。

  秩是线性代数中最为常用的也是最好用的工具之一,它既是重点也是难点,比较抽象,秩是贯穿线性代数始终的一个核心概念,整个线性代数的核心理论体系都是通过秩来串联和表达的。这里不仅仅要求要我们记住相关的定理和结论,更要求我们掌握与之相关的思想方法。

  3、线性方程组和向量

  考试中线代第一道解答题通常情况下出自两个部分的内容,用矩阵表示的线性方程组的求解问题、用向量表示的线性方程组的解法,但是从本质上向量和矩阵都可以转化为线性方程组的问题,所以这里核心要掌握线性方程组的解法。

  首先关于线性方程组我们需要关注三个问题:解的存在性、唯一性、解的结构;同学们一定要掌握解的存在性及唯一性的判别,充要条件以及性质;解得结构重点要掌握和理解基础解系的概念。

  这个部分常见的题型如下:(1)线性方程组的求解;(2)方程组解向量的判别及解的性质;(3)齐次线性方程组的基础解系;(4)非齐次线性方程组的通解结构;(5)两个方程组的公共解、同解等问题。

  其次关于向量这一部分,它既是重点又是难点,主要是因为其比较抽象,进而就会导致我们同学们在学习理解以及做题上的困难。

  这一部分主要是要掌握两个核心概念:线性表示和线性相关。关于这两个核心概念重点掌握其定义、充要条件(与秩的结合)以及性质,关于这两类题型我们一般是与非齐次线性方程组和齐次线性方程组一一对应来求解。

  4、特征值与特征向量、相似、二次型

  考试中线代第二道解答题通常情况下出自这三个部分内容,首先特征值和特征向量是作为这三个部分的基础工具而存在,对于特征值与特征向量我们需要掌握定义,性质;其次是相似,关于相似必须掌握相似的定义以及性质,这一块常考的是相似对角化的内容。

  关于相似对角化的定义,充要条件一定要掌握,这是这一块的一个难点也是重点,这两部分考试常考的题型有:(1)数值型矩阵的特征值和特征向量的求法;(2)抽象矩阵特征值和特征向量的求法;(3)判定矩阵是否能够相似对角化;(4)由特征值或特征向量烦求矩阵;(5)有关实对称矩阵的问题(性质)。

  5、二次型

  二次型是与其二次型的矩阵对应的,因此有关二次型的很多问题我们都可以转化为二次型的矩阵问题,所以正确写出二次型的矩阵是这一章节最基础的要求,而且结合实对称矩阵的性质的考察,也是一个重点。

  本章节的常见题型如下:(1)二次型表示成矩阵形式;(2)化二次型为标准形;(3)二次型正定性的判别。

  线性代数部分的知识点比较琐碎,各部分知识点之间的联系一定要掌握清楚,另外关于这门学科的计算题也要多加练习,考试中不光要算对,还要算的快,以最短的时间取得最高的分数是我们的目的,希望同学们把握时间认真学习。

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