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2017考研数学大纲未变:线性代数高分揭秘

2016-08-30 11:20

来源:新东方网整理

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  教育部考试中心已正式发布了2017年全国硕士研究生入学考试大纲,这虽然比原定的计划整整提前了两周,但在数学方面却毫无惊喜,依旧和去年完全一致,所以同学们可以安心按原计划复习备考。

  从数学的复习情况来看,目前大家高等数学的复习已经较为充分,但很多同学在线性代数上却找不到好的入手点,那么如何更高效的复习线代,在有限的时间内突破这门学科的瓶颈,并最终在考试中获得高分呢?各位考生通过以下三个方面的阅读学习一定会得到满意答案的。

  一、线性代数这门学科自身特点

  与高数相比,线代这门课相对计算技巧较少,贯穿始终的计算方法几乎只有初等变换这一种,但知识点却比另两门学科都要抽象的多。比如看到矩阵"秩"的概念时,同学们都会齐声问道"这是什么鬼";接着又出现了线性相关、无关,极大线性无关组,同学们更是惊呼"线代有毒"。

  其实这些概念如果大家能对应你相对熟悉的线性方程组就好理解多了。首先,大家可以体会下向量组的线性相关、无关其实是和齐次线性方程组有无非零解一一对应的。其次,矩阵的"秩"想说明的是方程组中本"质"方程或有效方程的个数,大家利用初等行变换化出的那些全零行,实际就是去掉那些"无效"方程组的过程;于是r(A)个有效方程只能限定r(A)个未知数,那么原有的n个未知数中就有n- r(A)个无法限定,所以称为自由未知量,进一步就可以得到方程组解中的一组极大无关组,也就是我们说的基础解系(利用最少的解向量去表示所有的解)。

  类似地,大家还可以思考线性表示和非齐次线性方程组解之间的关系,这样线代这些抽象的概念就会变得so easy,不懂哪里对比哪里!

  二、线性代数知识结

  基本概念--三大工具:行列式、矩阵、向量组;

  基本计算--求解线性方程组;

  简单应用--利用方程组的解反过来研究矩阵的特征值、特征向量及对角化;还可以研究简单的非线性组合关系即二次型的基本概念和性质。

  大家学习过程中可以以矩阵为主线,具体展开复习。如行列式可以看成方阵的一种运算;解方程组的过程其实也主要利用的是矩阵的初等行变换;二次型的研究也主要是对其对应的二次型矩阵的变换等等。

  还可以利用矩阵可逆的充要条件去串联整个线性代数的前后章节,它们分别是:行列式不等于0;方阵是满秩的;矩阵的行或列向量组组性无关;对应齐次线性方程组只有零解;矩阵没有0特征值;正负惯性指数之和为n等;这样大家就可以更简洁明了的做到前后知识的融会贯通了。

  三、线性代数重点题型解析

  所有知识的复习都为了考试中取得好的成绩,那么对重点题型的研究,则也显得尤为关键。数学考试三个卷种,对线性代数的要求基本一致,大小题加一起也都是五道,而且可考的题型相对固定,尤其是两道11分的计算大题,基本就是后三章的内容出两道,而且解方程组的内容一定会涉及到的,所以大家对利用矩阵初等变换求解方程组一定要多练习,得做到准确快速。

  但考查形式还是经历了不少变化,首先从考研最初几年直接求解方程组,到考讨论含参数的方程组解,再到十年前关于两个方程组公共解和同解的讨论(如在05年和07年的大题中连续出现);然而近几年命题人则更喜欢给方程组穿上外套,先是转换成了向量组线性表示一个向量或向量组之间的相互线性表示(如11年的真题),然后又是通过矩阵方程对解方程组进行考察(如13,14年的20题,数一16年20题);但大家只要摸清了这些套路,其实万变不离其中。

  第二道大题则常考查矩阵对角化或二次型标准化的过程,并且近年也常结合矩阵间的三种(等价、相似、合同)关系共同命题,如15,16年21题就是对矩阵相似关系的考查,而矩阵的合同关系之前却较少在大题中命题,所以同学们今年也可以多关注下矩阵间合同的内容。

  我想同学们如果能从以上三个方面入手,结合大家在强化阶段的讲义和近年真题解析,进行更有针对性的复习备考,在最后的100多天复习时间里,在线性代数这门学科获得质的提升,并取得高分甚至满分还是希望很大的。

  最后祝各位考生在强化和冲刺阶段复习中渐入佳境,金榜题名!

  (实习小编陈晓波寄语:任何的限制,都是从自己的内心开始的。)

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