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（1）一维随机变量的数字特征 |
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离散型 |
连续型 |
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期望 期望就是平均值 |
设X是离散型随机变量，其分布律为P( )＝pk，k=1,2,…,n，
（要求绝对收敛） |
设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，
（要求绝对收敛） |
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函数的期望 |
Y=g(X)
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Y=g(X)
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方差 D(X)=E[X-E(X)]2， 标准差 ， |
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矩 |
①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 νk=E(Xk)= , k=1,2, …. ②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即
= ， k=1,2, …. |
①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 νk=E(Xk)= k=1,2, …. ②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即
= k=1,2, …. |
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切比雪夫不等式 |
设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式
切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率
的一种估计，它在理论上有重要意义。 |
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（2）期望的性质 |
（1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， （4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 |
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（3）方差的性质 |
（1） D(C)=0；E(C)=C （2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X) （3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X2)-E2(X) （5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 |
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（4）常见分布的期望和方差 |
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期望 |
方差 |
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0-1分布 |
p |
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二项分布 |
np |
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泊松分布 |
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几何分布 |
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超几何分布 |
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均匀分布 |
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指数分布 |
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正态分布 |
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n |
2n |
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t分布 |
0 |
(n>2) |
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（5）二维随机变量的数字特征 |
期望 |
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函数的期望 |
＝
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＝
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方差 |
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协方差 |
对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协方差或相关矩，记为 ，即
与记号 相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为 与 。 |
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相关系数 |
对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称
为X与Y的相关系数，记作 （有时可简记为 ）。 | |≤1，当| |=1时，称X与Y完全相关： 完全相关 而当 时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的： ① ； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). |
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协方差矩阵 |
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混合矩 |
对于随机变量X与Y，如果有 存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为 ；k+l阶混合中心矩记为：
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（6）协方差的性质 |
(i) cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). |
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（7）独立和不相关 |
（i） 若随机变量X与Y相互独立，则 ；反之不真。 （ii） 若（X，Y）～N（ ）， 则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。 |
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